The following is external referencing of the 3 Ayas.

From the diagrams you could infer the purpose of the Kasra (*-i sound as in e or eh) and the usage of the construct Jar Majrur (Tugger and Tugged).

Also Al-Hamd-u has the ending O-sound which places it in the state of Raf’ (Elevation), in other words the loftiest concept in the sentence is Al-Hamd or adoration and grateful-ness, and all else are connected upwards to this high point, the conceptual summit.

Commonly people read Rabb-i Al-Alam-i-n-a, and yet this is not the only possible reading!

Rabb-i: Maksour with ending Kasra, is simply a continuation of characterizing who Allah is (Ni’at).

Rabb-a: In state of Nasb is basically a call (Nida’), therefore Allah is being called as in Ya Rabb-a Al-Alam-i-n-a, while the call Ya is omitted.

تفسير انوار التنزيل واسرار التأويل/ البيضاوي (ت 685 هـ)

وقرىء { رَبّ ٱلْعَـٰلَمِينَ } بالنصب على المدح. أو النداء. أو بالفعل الذي دل عليه الحمد، وفيه دليل على أن الممكنات كما هي مفتقرة إلى المحدث حال حدوثها فهي مفتقرة إلى المبقي حال بقائها.

Rabb-u: In state of Raf’ is actually Huwa Rabb-u (IT/HE Allah is the Rabb…) statement of a fact with omission of the Huwa the pronoun.

تفسير الجامع لاحكام القرآن/ القرطبي (ت 671 هـ)

الثانية عشرة: يجوز الرفع والنصب في «ربّ» فالنصب على المدح، والرفع على القطع؛ أي هو رب العالمين.

Da, Di and Du readings of Al-Hamd are indeed coupled with La, Li and Lu readings of L*-Llahi

Al-Hamd-u Li-Llah-i

Al-Halabi

Most Arab read Al-Hamd-u, with O-sound (Dhamma) after Dal of Hamd. Therefore Al-Hamd-u is Marfu’ (Elevated) by both being the beginning and O-sounding.

Al-Hamd-u if Mubtada’ i.e. the beginning of the sentence, and its Khabar (information about the beginning) is omitted (Mahzuf). In other words, the verse reads:

All Adoration for Allah, confirmed

Where ‘confirmed’ is Khabar information issued for ‘All adoration for Allah’.

Or

All Adoration for Allah, full confirmation

الدر المصون
الحلبي

وقرأ الجمهور: “الحمدُ لِلَّه” برفع الدال وكسر لام الجر، ورفعُه على الابتداء، والخبرُ الجار والمجرور بعده فيتعلَّقُ بمحذوف هو الخبرُ في الحقيقة. ثم ذلك المحذوفُ إن شئتَ قدَّرْتَه اسماً وهو المختار، وإنْ شئتَ قدَّرْتَه فِعْلاً، أي: الحمدُ مستقرٌّ لله أو استقرَّ لله.

Alif-Lam in Al-Hamd is for Istighraq or Ta’rif Al-Jins. Istighraq means comprehensive or most general, Ta’rif Al-Jins (or Tajnis) means specifying a category by classification (in this case categorically all adoration by all adorers for Allah)

الدر المصون
الحلبي

والألفَ واللامُ في “الحَمْد” قيل: للاستغراقِ وقيل: لتعريفِ الجنسِ،

Al-Hamd-i Li-Llah-i

Dal or D-sound of Al-Hamd is read by i-sound (Maksour, Kasra) to copy the following Kasra sounding of Li-Llahi for the sake of acoustic homogeneity.

الدر المصون
الحلبي

وقُرئ أيضاً بكسرِ الدال، ووجهُه أنها حركةُ إتباعٍ لكسرةِ لامِ الجر بعدها، وهي لغة تميم وبعض غطفان، يُتْبِعُون الأول للثاني للتجانس، ومنه: “اضربِ الساقَيْنُ أُمُّك هابِلُ”، بضم نون التثنية لأجل ضمِّ الهمزة

Al-Hamd-a Li-Llahi

Al-Nahas

Al-hamd-a ending with a-sound is verbal noun (Masdar). (Dara: timelessness of the adoration free of passage of time or actions)

اعراب القران
النحاس

وقرأ ابنُ عُييْنَة ورؤبة ابن العَجّاجِ {الحَمْدَ لله} على المصدر وهي لغة قيس والحارث بن سامة. والرفع أجود من جهة اللفظ والمعنى، فأما اللفظ: فلأنه اسم معرفة خبَّرت عنه، وأما المعنى: فانّك إذا رفعت أخبرت أنّ حَمدك وحَمْدَ غيرك لله جل وعز، وإذا نصبت/ لم يعدُ حَمْدَ نَفْسِك

Al-Hamd-u Lu-Llah-i

Al-Halabi

Since Dal or D-sound of Al-Hamd sounds as Hamd-u by O-sound (Dhamma) therefore the Lam of Li-Llah-i should/could also sound the same as a sort of copying of the sounds or Lu-Llah-i, for the sake of acoustic homogeneity.

الدر المصون
الحلبي

وقُرئ أيضاً: “لُلَّهِ” بضمِّ لامِ الجرِّ، قالوا: وهي إتباعٌ لحركة الدالِ، وفضَّلها الزمخشري على قراءة كسر الدال معتلاً لذلك بأنَّ إتباع حركة البناء لحركة الإِعراب أحسنُ من العكس وهي لغةُ بعضِ قيس، يُتْبعون الثاني للأول نحو: مُنْحَدُرٌ ومُقُبلِين، بضمِّ الدالِ والقافِ لأجلِ الميم، وعليه قُرئ: {مُرْدِفين} [الأنفال: 9] بضمِّ الراءِ إتباعاً للميمِ،

Remark: Basmala is counted as the first verse of Fatiha