Q: In the Basmala there is a pair “Al-Rahmn-i Al-Rahim-i”, then why to repeat again?

A: In the Badi’ (Arab’s Linguistic Inventions) of language of Arab, there is a construct called Taqdim/Ta’khir which allows for mentioning a phrase before/after its due place as an antecedent/precedent. In this case Al-Hamdu is mentioned in 1:2 while “Al-Rahmn-i Al-Rahim-i” was delayed to  1:3 i.e.

” الحمد لله الرحمٰن الرحيم رب العالمين ”

For research on this construct see Suyuti’s:

http://untiredwithloving.org/suyuti_fathul_jalil.html#taqdim_takhir

تفسير تفسير الهدايه إلى بلوغ النهايه/ مكي بن أبي طالب (ت 437 هـ)
{ ٱلرَّحْمـٰنِ ٱلرَّحِيمِ }

فإن قيل: قد فصل في هذا بـ { ٱلْحَمْدُ للَّهِ رَبِّ ٱلْعَالَمِينَ }.

– فالجواب إن ” الرحمٰن الرحيم ” في الحمد مؤخر يراد به التقديم، وإنما تقديره: ” الحمد لله الرحمٰن الرحيم رب العالمين ” ، فلا فاصل بين ” الرحمن الرحيم ” الأول والثاني. فإن كان ذلك كذلك، دل على أن التسمية ليست بآية من الحمد إذ لا نظير لها في كتاب الله جل ذكره، وإنما حكمنا على أن المراد ” ” بالرحمٰن الرحيم ” / في ” الحمد ” التقديم، لأن قوله: { مَـٰلِكِ يَوْمِ ٱلدِّينِ } مثل قوله: { رَبِّ ٱلْعَالَمِينَ } في المعنى، لأن معناه أنه إخبار من الله / أنه يملك / يوم الدين، و { رَبِّ ٱلْعَالَمِينَ } هو إخبار من الله أنه يملك العالمين فاتصال الملك بالملك أولى في الحكمة ومجاورة صفته بالرحمة صفته بالحمد والثناء أولى. فكل واحد مرتبط إلى نظيره في المعنى فدل على أن { ٱلرَّحْمـٰنِ ٱلرَّحِيمِ } في ” الحمد لله ” متصل به، يراد به التقديم. و { مَـٰلِكِ يَوْمِ ٱلدِّينِ } متصل بـِ { رَبِّ ٱلْعَالَمِينَ } إذ هو نظيره في المعنى، وذلك أبلغ في الحكمة. والتقديم والتأخير كثير في القرآن.